Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC=3

7

．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若

CB

•

CA

=

5

2

，且a+b=9，求c的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用tanC的值，可求得sinC和cosC的关系式，进而与sin²C+cos²C=1联立求得cosC的值．
（Ⅱ）利用向量的数量积的计算，根据

CB

•

CA

=

5

2

求得abcisC的值，进而求得ab的值，利用a+b的值求得a²+b²的值，代入余弦定理中求得c．

解答：解：（Ⅰ）∵tanC=3

7

，∴

sinC

cosC

=3

7

．
又∵sin²C+cos²C=1，解得cosC=±

1

8

．
∵tanC＞0，∴C是锐角．
∴cosC=

1

8

．

（Ⅱ）∵

CB

•

CA

=

5

2

，
∴abcosC=

5

2

．解得ab=20．
又∵a+b=9，∴a²+b²=41．
∴c²=a²+b²-2abcosC=36．
∴c=6．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用和同角三角函数的基本关系的应用．注意充分利用三角形的边角关系，建立方程求得问题的答案．