Question

设命题p：函数y=（a-1）^x在R上单调递增；命题q：当1＜x＜3时，关于x的不等式x²-ax+4＞0恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先根据指数函数的单调性及基本不等式求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p真q假，和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：命题p：首先a＞1，a-1＞1，∴a＞2；
命题q：a＜

x2+4

x

=x+

4

x

，对于1＜x＜3时恒成立；
∵x+

4

x

≥4，x=2时取“=”，即函数x+

1

x

在（1，3）上的最小值为4；
∴a＜4；
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假；
（1）p真q假时，a＞2，且a≥4，∴a≥4；
（2）p假q真时，1＜a≤2，且a＜4，∴1＜a≤2；
∴实数a的取值范围为（1，2]∪[4，+∞）．

点评：考查指数函数的单调性，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．