Question

已知函数g(x)=-(

1

2

)x2的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）求集合A，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＜f（5x+1）．

Answer 1

分析：（1）由x²＞0，0＜(

1

2

)x2＜1，可求得函数g(x)=-(

1

2

)x2的值域A，利用奇偶函数的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜0，作差后化积f（x₁）-f（x₂）=（x22-x12）（1+

1

x12x22

），判断积的符号即可；
（3）利用（2）中所证的单调性与其定义域为A可列关于x的不等式组，解之即可．

解答：解：（1）∵x²＞0，
∴0＜(

1

2

)x2＜1，-1＜-(

1

2

)x2＜0，
即A={x|-1＜x＜0}．
∵函数f（x）=x^-2-x²（x∈A），而A={x|-1＜x＜0}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数；
（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=

1

x12

-x12-（

1

x22

-x22）=

x22-x12

x12x22

+（x22-x12）
=（x22-x12）（1+

1

x12x22

）．
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴x12＞x22，

1

x12x22

＞0，
∴（x22-x12）（1+

1

x12x22

）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，0）上是增函数．
（3）∵f（3x+1）＜f（5x+1），
∴

-1＜3x+1＜0 -1＜5x+1＜0 3x+1＜5x+1

解得：x∈∅．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，着重考查函数奇偶性与单调性的定义及其综合应用，综合性强，属于难题．