Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e-1时，求证：ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在定义域内的极值点的个数．
（Ⅱ）由函数f（x）在x=1处取得极值，知a=1，故f(x)≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，由此能求出实数b的取值范围．
（Ⅲ）由ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

?

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，令g(x)=

ex

ln(x+1)

，则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，由此能够证明ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x＜

1

a

，f'（x）＞0得x＞

1

a

，
∴f（x）在(0，

1

a

)上递减，在(

1

a

，+∞)上递增，
即f（x）在x=

1

a

处有极小值．
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．（4分）
（注：分类讨论少一个扣一分．）
（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=1，…（5分）
∴f(x)≥bx-2?1+

1

x

-

lnx

x

≥b，…（6分）
令g(x)=1+

1

x

-

lnx

x

，可得g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，…（8分）
∴g(x)min=g(e2)=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．（9分）
（Ⅲ）证明：ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

?

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，（10分）
令g(x)=

ex

ln(x+1)

，
则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
又∵g′(x)=

ex[ln(x+1)- 1 x+1 ]

ln2(x+1)

，
显然函数h(x)=ln(x+1)-

1

x+1

在（e-1，+∞）上单调递增．（12分）
∴h(x)＞1-

1

e

＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
即

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
∴当x＞y＞e-1时，有ex-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．（14分）

点评：本题考查函数的求极值点的个数的求法，考查满足条件的实数的求法，考查不等式的证明．解题时要合理运用导数性质，注意等价转化思想和分类讨论思想的灵活运用．