Question

函数y=f（x）对任意实数x、y满足f（x）+f（y-x）=f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：y=f（x）是奇函数；
（2）判断y=f（x）的单调性，并证明；
（3）对任意t∈[1，2]，f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立，求x的范围．

Answer 1

（1）证明：令x=y=0，代入f（x）+f（y-x）=f（y），那么f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0 再令y=0，那么f（x）+f（-x）=f（0）=0，所以f（-x）=-f（x），
所以函数y=f（x）是奇函数；
（2）解：函数y=f（x）在整个R上是减函数
证明：令y＞x，则y-x＞0，
∵f（x）+f（y-x）=f（y），
∴f（y）-f（x）=f（y-x），
因为当x＞0，f（x）＜0，而y-x＞0，所以f（y-x）＜0 所以f（y）-f（x）＜0，
即y＞x，f（y）＜f（x），
所以函数y=f（x）在整个R上是减函数；
（3）解：对任意t∈[1，2]，f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立
∴对任意t∈[1，2]，tx²-2x＞t+2恒成立
∴对任意t∈[1，2]，（x²-1）t-2x-2＞0恒成立，
令函数h（t）=（x²-1）t-2x-2
分三种情况：i、当x²-1=0时，x=1或-1，代入发现不符合（x²-1）t-2x-2＞0
ii、当x²-1＞0，即x＞1或x＜-1时，函数h（t）=（x²-1）t-2x-2是增函数，所以最小值为h（1）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）＞0，
所以x＞3或x＜-1
所以最后符合的解是：x＞3或x＜-1
iii、当x²-1＜0，即-1＜x＜1时，函数h（t）=（x²-1）t-2x-2是减函数，所以最小值是h（2）=2x²-2x-4=2（x+1）（x-2）＞0，
所以x＞2或x＜-1，与-1＜x＜1矛盾
综上知x的范围是：x＞3或x＜-1
分析：（1）对x，y分别进行赋值，结合f（x）+f（y-x）=f（y），利用奇函数的定义可证明；
（2）利用单调性的定义，结合当x＞0时，f（x）＜0，取y＞x，则y-x＞0，所以f（y-x）＜0，利用当x＞0时，f（x）＜0，即可证得；
（3）利用（2）的结论，将抽象不等式化为具体不等式，变换主元，构建一次函数，即可解决．
点评：本题以函数的性质为载体，考查赋值法的运用，考查函数单调性的判断与证明，同时考查变换主元思想的运用，解题时合理运用函数的性质是关键．