Question

设函数，求证：
（1）；
（2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，得出＞0，b＜0，2c=-3a-2b，利用不等式基本性质，即可证明．
（2）可以证出当c＞0时，f（0）f（1）＜0，当c≤0时，f（2）f（1）＜0，根据零点存在性定理，即可证出．
（3）x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，利用二次方程根与系数的关系，得出，再结合（1）进行证明即可．
解答：证明：（1）∵∴3a+2b+2c=0
又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）
又2c=-3a-2b  由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b
∵a＞0∴…（4分）
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c…（6分）
①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点…（8分）
②当c≤0时，∵a＞0∴
∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．
综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…（10分）
（3）∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点
则x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根
∴…（12分）∴
∵∴…（15分）
点评：本题是函数与不等式、方程的结合．考查二次函数性质、函数零点、不等式的证明，考查计算、论证能力．