Question

5．过点P（3，2）的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B．
（1）若P为AB的中点时，求l的方程；
（2）若|PA|•|PB|最小时，求l的方程；
（3）若△AOB的面积S最小时，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）由中点坐标公式求出A，B的坐标，直接由截距式方程得答案；
（2）设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件；
（3）由题意设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（a，b＞0），可得 $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$=1，由基本不等式可得ab≥24，可得△AOB的面积S≥12，可得此时直线的方程．

解答 解：（1）设A（a，0），B（0，b），
∵P（3，2）为AB的中点，
∴A（6，0），B（0，4），
∴由截距式得l的方程为：$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$，
即2x+3y-12=0；
（2）设所求直线的方程为y-2=k（x-3），由题意知k＜0，
令x=0可得y=2-3k，令y=0可得x=3-$\frac{2}{k}$，
即A（3-$\frac{2}{k}$，0），B（0，2-3k）．
∴|PA|•|PB|=$\sqrt{（\frac{4}{{k}^{2}}+4）（9+9{k}^{2}）}=\sqrt{72+36（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$≥12，
当且仅当k²=1，即k=-1时取等号，|PA|•|PB|取最小值为12，
即直线l的方程为x+y-5=0；
（3）由题意设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（a，b＞0），
∵直线过P（3，2），
∴$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1$，
∴1=$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{3}{a}•\frac{2}{b}}$，∴ab≥24．
当且仅当$\frac{3}{a}=\frac{2}{b}$即a=6且b=4时取等号，
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$ab≥12，
∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$，
即直线l的方程为2x+3y-12=0．

点评 本题考查直线的截距式方程以及直线l的点斜式方程，涉及基本不等式的应用，属中档题．