Question

设a为非零实数，偶函数f（x）=x²+a|x-m|+1（x∈R）在区间（2，3）上存在唯一零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据函数是一个偶函数，利用偶函数的定义，写出关系式得到m的值是0，根据在区间（2，3）上存在唯一零点，得到f（2）×f（3）＜0且在（2，3）上为单调函数，求出结果．

解答：解：∵偶函数f（x）=x²+a|x-m|+1
f（-x）=x²-a|x+m|+1=x ²+a|x-m|+1
|x+m|=|x-m|
2xm=-2xm
∴m=0
f（x）=x²+a|x|+1，
x∈（2，3），f（x）=x²+ax+1，若其在区间（2，3）上存在唯一零点
f（2）×f（3）＜0且在（2，3）上为单调函数
∴（5+2a）（10+3a）＜0
∴-

10

3

＜a＜-

5

2

故答案为：（-

10

3

，-

5

2

）

点评：本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是先写出符合偶函数的定义的式子，整理出式子中的字母系数的值．