Question

(12分) 如图，设P是圆x²＋y²＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD＝PD.

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

Answer 1

(1)＋＝1.(2)AB＝.

试题分析：设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x_P，y_P)，然后利用MD＝PD,把P点坐标用M点的坐标表示出来，代入圆的方程即可得到动点M的轨迹方程.
(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x_P，y_P)，
由已知得　∵P在圆上，
∴x²＋(y)²＝25，
即轨迹C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝ (x－3)，
设直线与C的交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，将直线方程y＝ (x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x²－3x－8＝0.
∴x₁＝，x₂＝.
∴线段AB的长度为
AB＝
＝
＝＝.
点评：本小题属于相关点法求轨迹方程要把主动点的坐标用被动点的坐标表示出来，然后再代入主动点所在曲线的方程即可求出动点的轨迹方程.在涉及直线与椭圆相交求弦长时要借助韦达定理及弦长公式，一般不考虑求交点坐标.