Question

对于定义域为正整数N⁺，值域为正整数N⁺的子集的函数y=f（x），若满足①y=f（x）为单调增函数；②对于任意的n∈N⁺，都有f（f（n））=4n，则该函数为“H函数”．
（1）判断若函数f（x）=2x（x∈N⁺）是否为“H函数”；
（2）证明：若函数y=f（x）为“H”，则对于任意的n∈N⁺，都有

8

5

n≤f（n）≤

5

3

n．

Answer 1

考点：函数的值

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，判断函数f（x）=2x是“H函数”；
（2）由函数y=f（x）为“H函数”，判断f（n+1）＞f（n），得f（n+1）≥f（n）+1，f（n）≤

5

2

n，且f（n）≥

8

5

n，即证

8

5

n≤f（n）≤

5

2

n．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=2x，当x∈N⁺时，该函数是增函数；
∴函数f（x）对任意的n∈N⁺，f（f（n））=f（2n）=4n，
∴f（x）=2x（x∈N⁺）是“H函数”；
（2）证明：若函数y=f（x）为“H函数”，则对任意的n∈N⁺，有f（n+1）＞f（n），
又因为函数y=f（n）的值域是正整数集N⁺的子集，
所以f（n+1）≥f（n）+1，
因而有f（f（n））=f（n+f（n）-n）≥f（n）+（f（n）-n）=2f（n）-n，
即4n≥2f（n）-n，
所以f（n）≤

5

2

n；
在上式中，以f（n）代替n，得f（f（n））≤

5

2

f（n），
即4n≤

5

2

f（n），
所以f（n）≥

8

5

n；
综上，

8

5

n≤f（n）≤

5

2

n．

点评：本题考查了新定义的应用问题，解题时应理解新定义的概念的问题，是中档题目．