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如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形。
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积。
解:(1)设椭圆的方程为,F2(c,0)
∵△AB1B2是直角三角形,|AB1|=|AB2|,
∴∠B1AB2为直角,
从而|OA|=|OB2|,

∵c2=a2-b2
∴a2=5b2,c2=4b2

在△AB1B2中,OA⊥B1B2
∴S=|B1B2||OA|=
∵S=4,
∴b2=4,
∴a2=5b2=20
∴椭圆标准方程为
(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0),
由题意,直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程,
消元可得(m2+5)y2-4my-16-0①
设P(x1,y1),Q(x2,y2),


=
∵PB2⊥QB2


∴m=±2当m=±2时,①可化为y2±8y-16-0,
∴|y1-y2|==
∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1-y2|=×4×=
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•重庆)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过B1做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.

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(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
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