Question

（2013•大连一模）已知函数y=f（x）的定义域为R，且具有以下性质：①f（x）-f（-x）=0；②f（x+2）=f（2-x）；③y=f（x）在区间[0，2]上为增函数，则对于下述命题：
（Ⅰ）y=f（x）的图象关于原点对称； 
（Ⅱ）y=f（x）为周期函数，且4是一个周期；
（Ⅲ）y=f（x）在区间[2，4]上为减函数．
所有正确命题的序号为

（Ⅱ）、（Ⅲ）

．

Answer 1

分析：由：①f（x）-f（-x）=0可判断其奇偶性；由②f（x+2）=f（2-x）可判断其对称性；再结合③y=f（x）在区间[0，2]上的单调性即可对（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）的正误作出判断．

解答：解：∵①f（x）-f（-x）=0，
∴f（-x）=f（x），
∴y=f（x）为偶函数，不是奇函数，故（Ⅰ）错误；
又f（x+2）=f（2-x），
∴y=f（x）关于直线x=2对称，且f（x）=f（4-x），
∴f（-x）=f（4-x），
∴y=f（x）是周期为4的为周期函数，故（Ⅱ）正确；
又y=f（x）在区间[0，2]上为增函数，
∴偶函数y=f（x）在区间[-2，0]上为减函数，又y=f（x）是周期为4的为周期函数，
∴y=f（x）在区间[2，4]上为减函数，即（Ⅲ）正确．
综上所述，所有正确命题的序号为（Ⅱ）、（Ⅲ）．
故答案为：（Ⅱ）、（Ⅲ）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性、对称性与单调性的综合应用，属于中档题．