Question

【题目】已知函数 ，且 .

（Ⅰ）设 ，求的单调区间及极值；

（Ⅱ）证明：函数的图象在函数的图象的上方.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 当时， ．(Ⅱ)详见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得，则= ，求导即可研究单调区间及极值；

（Ⅱ）证明：函数的图象在函数的图象的上方，等价于，即，只要证得，可通过证明即可.

试题解析：

（Ⅰ）解：由，所以，解得，

又得，所以，

于是，则，由，

所以的递增区间，递减区间，

当时，．

（Ⅱ）证明：“函数的图象在函数的图象的上方”等价于“”，即要证：，又，

所以只要证．

由（Ⅰ）得，即（当且仅当时等号成立），

所以只要证明当时，即可．

设，

所以，令，解得，

由得，所以在上为增函数，

所以，即，

所以，故函数的图象在函数的图象的上方.