Question

9．设函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$
（1）判断函数的奇偶性；
（2）探究函数y=f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．

Answer 1

分析 （1）由解析式求出函数的定义域，化简f（-x）后由函数奇偶性的定义即可判断；
（2）先判断出函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明．

解答 解：（1）函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$是奇函数，
函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$的定义域是{x|x≠0}，
因为$f（-x）=-x-\frac{1}{x}$=-f（x），
所以函数f（x）数奇函数；
（2）函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$在[1，+∞）上是增函数，
证明：设x₁＞x₂≥1，
则f（x₁）-f（x₂）=${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$-（${x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＞x₂≥1，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}＞$0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，则f（x₁）＞f（x₂），
∴函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$在[1，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断以及证明，考查化简、变形能力，属于中档题．