Question

已知数列{a_n}为公差大于0的等差数列，S_n为其前n项和，且a₁a₆=21，S₆=66．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}是等差数列，且c_n=，求常数p．

Answer 1

解：（1）∵S₆=66=，∴a₁+a₆=22．再由a₁a₆=21
可得 a₁ 和a₆是方程 x²-22x+21=0的两个根，再由公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，
由于a₆=21=a₁+5d，故公差d=4，故 a_n =4n-3．
（2）=x⁴ⁿ⁺⁹，
当x=0时，=0，{b_n}的前n项和 T_n=0．
当x=1时，=1，{b_n}的前n项和 T_n=n．
当x=-1时，=-1，{b_n}的前n项和T_n=-n．
当x≠0 且x≠±1时，，{b_n}的前n项和 T_n=．
综合可得，{b_n}的前n项和．
（3）∵S_n=n×1+=2n²-n，∴c_n==．
∵{c_n}是等差数列，∴c₁+c₃=2c₂，即 +=2×，
由此解得 p=0，或 p=-．
分析：（1）由 S₆=66 求出a₁+a₆=22，再由a₁a₆=21，公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，求出公差d=4，可得数列{a_n}的通项公式．
（2）先求出=x⁴ⁿ⁺⁹，分x=0时、x=1时、x≠0 且x≠-1时三种情况，分别求得，{b_n}的前n项和 T_n的值，
综合可得结论．
（3）先求出 S_n=2n²-n，可得c_n==．再由c₁+c₃=2c₂，由此解得 p的值．
点评：本题主要考查等差关系的确定，等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于中档题．