温州某私营公司生产一种产品.根据历年的情况可知.生产该产品每天的固定成本为14000元.每生产一件该产品.成本增加210元．已知该产品的日销售量f(x)与产量x之间的关系式为f(x)=1625x2.0≤x≤400256.x＞400.每件产品的售价g(x)与产量x之间的关系式为g(x)=-58x+750.0≤x≤400500.x＞400．(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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温州某私营公司生产一种产品，根据历年的情况可知，生产该产品每天的固定成本为14000元，每生产一件该产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量f（x）与产量x之间的关系式为f(x)=

625

x2，0≤x≤400

256，x＞400

，每件产品的售价g（x）与产量x之间的关系式为g(x)=

x+750，0≤x≤400

500，x＞400

．
（Ⅰ）写出该公司的日销售利润Q（x）与产量x之间的关系式；
（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．

分析：（I）先求出总成本c（x）的函数，然后根据日销售利润Q（x）=f（x）g（x）-c（x）求出所求；
（II）讨论x的范围，然后利用导数研究函数的最值，分别求出最值，从而求出整个函数的最值，从而得到结论．

解答：解：（Ⅰ）总成本为c（x）=14000+210x．（1分）
所以日销售利润Q（x）=f（x）g（x）-c（x）=

1000

x3+

x2-210x-14000，0≤x≤400

-210x+114000，x＞400

．（5分）
（Ⅱ）①当0≤x≤400时，Q/(x)=-

1000

x2+

x-210．
令Q′（x）=0，解得x=100或x=700．
于是Q（x）在区间[0，100]上单调递减，在区间[100，400]上单调递增，
所以Q（x）在x=400时取到最大值，且最大值为30000；（8分）
②当x＞400时，Q（x）=-210x+114000＜30000．
综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．（10分）

点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，属于基础题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．

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