Question

已知过点A（0，4）的直线l与以F为焦点的抛物线C：x²=py相切于点T（-4，y_o）；中心在坐标原点，一个焦点为F的椭圆与直线l有公共点．
（1）求直线l的方程和焦点F的坐标；
（2）求当椭圆的离心率最大时椭圆的方程；
（3）设点M（x₁，y_l）是抛物线C上任意一点，D（0，-2）为定点，是否存在垂直于y轴的直线l′被以MD为直径的圆截得的弦长为定值？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用过点A（0，4）的直线l与以F为焦点的抛物线C：x²=py相切于点T（-4，y_o），即可求得直线l的方程和焦点F的坐标；
（2）先确定e=

c

a

=

1

a

，从而当e最大时，a取得最小，即在直线l上找一点P，使得|PF₁|+|PF₂|最小，求出F₂（0，-1）关于2x-y+4=0对称点的坐标，即可求椭圆方程；
（3）假设l′存在为y=b，求出以MD为直径的圆N的圆心坐标，求出半径为r、N到直线l′的距离，从而可计算弦长，即可得到结论．

解答：解：（1）∵y=

x2

p

，∴y′=

2x

p

，∴l：y-y0=

2×(-4)

p

[x-(-4)]
∵直线l过点A（0，4），∴4-

16

p

=

-8

p

(0+4)，∴p=-4
∴l的方程为2x-y+4=0，焦点F的坐标为（0，-1）…（4分）
（2）设椭圆为

y2

a2

+

x2

a2-1

=1（a＞1），F₁（0，1），F₂（0，-1），则e=

c

a

=

1

a

，当e最大时，a取得最小
则在直线l上找一点P，使得|PF₁|+|PF₂|最小
设F₂（0，-1）关于2x-y+4=0对称点为F₂′（x₀，y₀）     …（6分）

2• 0+x0 2 - -1+y0 2 +4=0 y0-(-1) x0-0 .2=-1

，解得

x0=-4 y0=1

∴2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|P

F

/ 2

|=|F1

F

/ 2

|=

(-4-0)2+(1-1)2

=2…（8分）
∴所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

3

=1…（9分）
（3）假设l′存在为y=b，以MD为直径的圆N的圆心为N(

x1

2

，

- x 2 1 4 -2

2

)
半径为r=|ND|=

( x1 2 -0)2+( - x 2 1 4 -2 2 -(-2))2

…l0分
N到直线l′的距离为d=|

- x 2 1 4 -2

2

-b|=|

x 2 1

8

+1+b|
∵r2=1+

x 4 1

64

 ，d2=

x 4 1

64

+1+b2+

x 2 1

4

+

x 2 1

4

•b+2b
∴弦长=2

r2-d2

=2

- x 2 1 4 (b+1)-b2-2b

…（12分）
∴当b=-1时，弦长为定值2                             …（13分）
即l′为y=-1时，垂直于y轴的直线l′被以MD为直径 的圆截得的弦长为定值2．…（14分）

点评：本题考查直线、抛物线、椭圆方程的求解，考查弦长的计算，考查对称点的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．