Question

如果有穷数列a1，a2，…，an(n∈N*)满足条件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，（i=1，2，…，n）我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，3，2，1 和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列{b_n}是项数不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2009项和S₂₀₀₉所有可能的取值的序号为（　　）
①2²⁰⁰⁹-1   ②2（2²⁰⁰⁹-1）③3•2^m-1-2^2m-2010-1   ④2^m+1-2^2m-2009-1．

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

Answer 1

分析：由于新定义了对称数列，且已知数列b_n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，故数列{b_n}的前2009项和需分情况讨论，然后利用等比数列的前n项和定义直接可求得，从而判断①②的正确与否；对于③④，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和，在利用减法得到需要的前2009项的和，即可判断．

解答：解：因为数列b_n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论．
若数列含偶数项，则数列可设为1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
当m-1≥2008时，S2009=

1×(1-22009)

1-2

=22009-1，所以①正确；
当1004≤m-1＜2008时，S2009=2

1×(1-2m)

1-2

-

1×(1-22m-2009)

1-2

=2^m+1-2^2m-2009-1，所以④正确；
若数列含奇数项，则数列可设为可设为1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
当m-1≥2008时，S2009=22009-1；
当1004≤m-1＜2008时，所以S2009=2

1×(1-2m-1)

1-2

+2m-1-

1×(1-22m-1-2009)

1-2

=3•2^m-1-2^2m-2010-1，所以③正确．
故选D．

点评：此题考查了学生对于新题意，新定义的理解，还考查了等比数列的求和公式及学生的计算能力．