Question

（本小题满分12分）
有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长.
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的最大容积V1；
（2）请你判断上述方案是否是最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积V2＞V1.

Answer 1

解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，
∴V1=（4-2x）2x=4（x3-4x2+4x）（0＜x＜2）.                                2分
V′1=4（3x2-8x+4）=12(x-)(x-2).                                         4分
当0<x<时，V′1>0；当<x<2时，V′1<0.                               6分
∴当x=时，V1取最大值.                                            8分
（2）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器．
新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1.故第二种方案符合要求．                                             12分
V1.故第二种方案符合要求．                                             12分

解析