Question

我国东部某风景区内住房着一个少数民族部落，该部落拟投资1500万元用于修复和加强民俗文化基础设施，据测算，修复好部落民俗文化基础设施后，任何一个月（每月按30天计算）中第n天的游客人数a，近似满足a_n=10+

10

n

（单位：千人），第n天游客人均消费金额b，近似满足b_n=162-|n-18|（单位：元）
（Ⅰ）求该部落第n天的日旅游收入c_n（单位：千元，1≤n≤30，n∈N^*）的表达式；
（Ⅱ）若以一个月中最低日旅游收入金额的1%作为每一天应回收的投资成本，试问该部落至少经过几年就可以收回全部投资成本．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,分段函数的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据旅游收入p（x）等于每天的旅游人数a_n与游客人均消费b_n的乘积，然后去绝对值，从而得到所求；
（Ⅱ）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．

解答： 解：（Ⅰ）当1≤n≤18时，c_n=（10+

10

n

）（144+n）=1450+

1440

n

+10n   …（2分）
当19≤n≤30时，c_n=（10+

10

n

）（180-n）=1790+

1800

n

-10n     …（4分）
综上，c_n=

1450+ 1440 n +10n，1≤n≤18 1790+ 1800 n -10n，19≤n≤30

                      …（6分）
（Ⅱ）当1≤n≤18时，c_n=1450+

1440

n

+10n≥1450+2

1440 n •10n

=1690（当且仅当n=12时取等号）                                                     …（8分）
当19≤n≤30时，c_n=1790+

1800

n

-10n
∵y=

1800

n

-10n在[19，30]上为减函数，
∴c_n≤1790+

1800

30

-10×30=1550                               …（10分）
于是（c_n）min=1550（千元），即日最低收入为1550千元．
该村一年可收回的投资资金为1550×1%×30×12=5580（千元）=558（万元），
两年可收回的投资资金为558×2=1116（万元），
三年可收回的投资资金为558×3=1674（万元）．
∴至少经过3年可以收回全部投资成本．…（13分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．