Question

已知抛物线x²=y+1上一定点A（-1，0）和两动点P，Q当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设P（a，b）  Q（x，y） 进而可表示出

AP

，

PQ

，根据PA⊥PQ得（a+1）（x-a）+（b-1）（y-b）=0，把P，Q代入抛物线方程，整理可得a²+（x-1）a+1-x=0根据方程有解，使判别式大于0，求得x的范围．

解答：解：设P（a，b）  Q（x，y）   则

AP

=（a+1，b）

PQ

=（x-a，y-b）
由垂直关系得（a+1）（x-a）+b（y-b）=0
又P、Q在抛物线上即a²=b+1，x²=y+1，
故（a+1）（x-a）+（a²-1）（x²-a²）=0
整理得（a+1）（x-a）[1+（a-1）（x+a）]=0
而P和Q和A三点不重合即a≠-1   x≠a
所以式子可化为1+（a-1）（x+a）=0
整理得 a²+（x-1）a+1-x=0
由题意可知，此关于a的方程有实数解  即判别式△≥0
得（x-1）²-4（1-x）≥0解得x≤-3或x≥1
故答案为（-∞，-3]∪[1，+∞）

点评：本题主要考查抛物线的应用和不等式的综合运用．考查了学生综合运用所学知识和运算能力．