Question

20．已知数列{a_n}，a₁=2，点$（{\frac{1}{2}{a_n}，{a_{n+1}}+1}）$在函数f（x）=2x+3的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列${b_n}={2^{a_n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由点$（{\frac{1}{2}{a_n}，{a_{n+1}}+1}）$在函数f（x）=2x+3的图象上，代入可知：a_n+1-a_n=2，数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）数列${b_n}={2^{a_n}}$=2²ⁿ=4ⁿ，数列{b_n}是以4为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列前n项和，即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由点$（{\frac{1}{2}{a_n}，{a_{n+1}}+1}）$在函数f（x）=2x+3的图象上，
则a_n+1+1=2×$\frac{1}{2}$a_n+3，
∴a_n+1-a_n=2，
数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，a_n=2+2（n-1）=2n；
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（2）数列${b_n}={2^{a_n}}$=2²ⁿ=4ⁿ，
∴数列{b_n}是以4为首项，4为公比的等比数列，
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{{b}_{1}（1-{b}_{n}）}{1-q}$=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1），
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．