Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{2}$n（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=2a_n+1变形可知a_n+1+1=2（a_n+1），进而可知数列{a_n+1}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n•2^n-1，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁=1，
∴数列{a_n+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=-1+2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{2}$n（a_n+1）=$\frac{1}{2}$n•2ⁿ=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2+…+n•2^n-1，
2T_n=1•2+2•2²…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
错位相减得：-T_n=1+2+2²…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1-（n-1）•2ⁿ，
于是T_n=1+（n-1）•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．