Question

如图，在三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AC=3，CC₁⊥平面ABC，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥C₁-CDB₁的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC₁⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC₁，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（3）取BC的中点M，连接DM，利用三角形的中位线定理可得，再利用线面垂直的性质定理可得DM⊥平面BCC₁B₁．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．
解答：（1）证明：∵底面三边长AC=3，BC=4，AB=5．
∴AB²=AC²+BC²，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC．
∴AC⊥CC₁．
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．
（2）证明：设CB₁∩BC₁=E，连接ED．
由正方形BCC₁B₁可得E为BC₁的中点，又D为AB的中点，∴AC₁∥ED．
∵ED?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）解：取BC的中点M，连接DM，则，
∵AC⊥平面BCC₁B₁，∴DM⊥平面BCC₁B₁．
∴===4．
点评：熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．