Question

已知某长方体的棱长之和为14.8m，长方体底面的一边比另一边长0.5m，问高为多少时长方体体积最大？并求出最大体积是多少？

Answer 1

【答案】分析：先设容器底面短边长为xm，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可．
解答：解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，
高为=3.2-2x
由3.2-2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，
设容器的容积为ym³，则有y=x（x+0.5）（3.2-2x）（0＜x＜1.6）
整理，得y=-2x³+2.2x²+1.6x，
所以y'=-6x²+4.4x+1.6（6分）
令y'=0，有-6x²+4.4x+1.6=0，即15x²-11x-4=0
解得x₁=1，x²=-（不合题意，舍去）．
从而，在定义域（0，1，6）内只有在x=1处使y'=0．
因此，当x=1时y取得极大值，也是最大值，y_最大值=-2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2-2×1=1.2．
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m³
点评：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．