Question

10．如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．
（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．
（Ⅱ）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设出线段的长，根据条件中所给的两个平面的二面角的值，求出设出的a的值，再求出四棱锥的体积．

解答 证明：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形
∴DF∥BE且DF=BE
∴DFBE为平行四边形
∴DE∥BF
∴∠PBF是PB与DE的所成角
△PBF中，BF=$\sqrt{5}$，PF=，$\sqrt{2}$，PB=3，
∴cos∠PBF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴异面直线PB和DE所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
解：（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，
可得如下点的坐标：
P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）
则有：$\overrightarrow{PF}$=（1，0，-a），$\overrightarrow{FB}$=（1，2，0）
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）
设平面PFB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则可得$\left\{\begin{array}{l}{x-az=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得z=$\frac{1}{a}$，y=-$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，所以得$\frac{\frac{1}{a}}{1•\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，解得a=2．
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，
所以其体积为V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$×2×4=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查立体几何的综合问题，在题目中不是求二面角．二是以二面角的大小为已知条件，求出图形中的未知量，再进行其他的运算．