精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
10.如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱BC,AD的中点.
(Ⅰ)若PD=1,求异面直线PB和DE所成角的余弦值.
(Ⅱ)若二面角P-BF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$,求四棱锥P-ABCD的体积.

分析 (1)根据一对对边平行且相等,得到一个四边形是平行四边形,根据平行四边形对边平行,把两条异面直线所成的角表示出来,放到△PBF中,利用余弦定理求出角的余弦值.
(Ⅱ)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设出线段的长,根据条件中所给的两个平面的二面角的值,求出设出的a的值,再求出四棱锥的体积.

解答 证明:(Ⅰ)E,F分别为棱BC,AD的中点,ABCD是边长为2的正方形
∴DF∥BE且DF=BE
∴DFBE为平行四边形
∴DE∥BF
∴∠PBF是PB与DE的所成角
△PBF中,BF=$\sqrt{5}$,PF=,$\sqrt{2}$,PB=3,
∴cos∠PBF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴异面直线PB和DE所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$;
解:(Ⅱ)如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,
可得如下点的坐标:
P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)
则有:$\overrightarrow{PF}$=(1,0,-a),$\overrightarrow{FB}$=(1,2,0)
因为PD⊥底面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=(0,0,1)
设平面PFB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),则可得$\left\{\begin{array}{l}{x-az=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$,令x=1,得z=$\frac{1}{a}$,y=-$\frac{1}{2}$,
所以$\overrightarrow{n}$=(1,-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{a}$)
由已知,二面角P-BF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$,所以得$\frac{\frac{1}{a}}{1•\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,解得a=2.
因为PD是四棱锥P-ABCD的高,
所以其体积为VP-ABCD=$\frac{1}{3}$×2×4=$\frac{8}{3}$.

点评 本题考查立体几何的综合问题,在题目中不是求二面角.二是以二面角的大小为已知条件,求出图形中的未知量,再进行其他的运算.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.设向量$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(m,m+1),$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$,则实数m的值为(  )
A.1B.-1C.-$\frac{1}{3}$D.-3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.已知sinα=$\frac{3}{5}$,α∈($\frac{π}{2}$,π)
(1)tan(α+π)的值;
(2)cos(α-$\frac{π}{2}$)sin(α+$\frac{3π}{2}$)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.若0<α<$\frac{π}{2}$,-π<β<-$\frac{π}{2}$,cos($\frac{π}{4}$+α)=$\frac{1}{3}$,cos($\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$)=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,则cos(α+$\frac{β}{2}$)=(  )
A.-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$B.$\frac{5\sqrt{3}}{9}$C.-$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

5.已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{y≥-x}\\{x≤2}\end{array}\right.$表示的平面区域为S,点P(x,y)∈S,则z=2x+y的最大值为6.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

15.已知x与y之间的几组统计数据如下表:
x23456
y611141618
根据上表数据所得线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=2.5x+a,据此模型推算当x=7时,$\stackrel{∧}{y}$的值为(  )
A.20B.20.5C.21D.21.5

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.已知实数a,b均不为零,$\frac{asin2+bcos2}{acos2-bsin2}$=tanβ,且β-2=$\frac{π}{6}$,则$\frac{b}{a}$=(  )
A.-$\sqrt{3}$B.-$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\sqrt{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

19.为了了解高三学生的数学成绩,抽取了某班60名学生,将所得数据整理后,画出如图所示的频率分布直方图,已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1,则该班学生数学成绩在[100,120]之间的学生人数是(  )
A.32B.24C.18D.12

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

7.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,各棱长均为2,D、E、F分别是棱AC,AA1,CC1的中点
(Ⅰ)求证:B1F∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F-BE-D的余弦值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案