Question

（本小题满分1６分）

已知数列满足，

（1）求证：数列为等比数列   （2）求数列的通项公式

（3）试问：数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）  ∵，∴

所以是以为首项，2为公比的等比数列．．．．５分

（2） 　　．．．．．．．．．．．１０分

（3）中不存在不同的三项恰好成等差数列.

【解析】

试题分析：(1)由，得,

根据等比数列的定义可知是等比数列.

（2）在（1）的基础上，可求出

(3)解本小题的关键：假设数列中存在不同的三项恰好成等差数列，显然是递增数列，然后可设，则即，进而得到,

然后再根据p,q,r取正整数值，并且还要从奇偶性判断是否存在.

（1）  ∵，∴

所以是以为首项，2为公比的等比数列．．．．５分

（2） 　　．．．．．．．．．．．１０分

（3）若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，显然是递增数列，不妨设，则

即，化简得：

……（*）．．．．．．．．．．．．．．．．１４分

由于，且，知≥1，≥2，

所以（*）式左边为偶数，右边为奇数， 　故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.．１６分

考点：等比数列的定义，与数列有关的探究性问题.

点评：等比数列的定义是判定一个数列是否是等比数列的依据，勿必理解掌握.对于探索性问题可先假设存在，然后根据条件探索存在应满足的条件，从而最终得出结论.