Question

（13分）已知抛物线与直线交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）当k=1时，求线段AB的长；
（II）当k在R内变化时，求线段AB中点C的轨迹方程；
（III）设是该抛物线的准线．对于任意实数k，上是否存在点D，使得？如果存在，求出点D的坐标；如不存在，说明理由． 

Answer 1

解：设点、分别为、，由题意得
，
∴，     　　　　　　　　　　　 　　　　　　１分
∴，．　　　　　　　　　　　　　　 　 2分
∴，
．           　　　　　　　　　　　　 　　３分
（Ⅰ）当时，，，，．
∴   　　　　　　　　　　　　　　 4分

．   　　　　　　　　　　　６分
（Ⅱ）设线段中点的坐标为，则当变化时，
， 　　　　　　　　　　　　　            7分
消去，得．
即点的轨迹方程为．　　　　　　　　　　　　　　　９分
（Ⅲ）抛物线的准线的方程为．　　　　　　　　 10分
假设在上存在一点，使，则
，．　　　　　　　　　12分
令，
得　　　①
将，，，代入①式，整理得，即，
∴．
∴对于任意实数，在上存在点，使得．         13分

略