Question

已知

a

与

b

均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P₁：|

a

+

b

|＞1?θ∈[0，

2π

3

）；P₂：|

a

+

b

|＞1?θ∈（

2π

3

，π]；P₃：|

a

-

b

|＞1?θ∈[0，

π

3

）；P₄：|

a

-

b

|＞1?θ∈（

π

3

，π]；其中的真命题是（　　）

• A、P₁，P₄
• B、P₁，P₃
• C、P₂，P₃
• D、P₂，P₄

Answer 1

分析：利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．

解答：解：由|

a

-

b

|＞1，得出2-2cosθ＞1，即cosθ＜

1

2

，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（

π

3

，π]，故P₃错误，P₄正确．
由|

a

+

b

|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞-

1

2

，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，

2π

3

），故P₂错误，P₁正确．
故选A．

点评：本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力．