Question

【题目】已知椭圆C： ，左焦点 ，且离心率 （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵椭圆C： ， 左焦点 ，且离心率 ，
∴c= ， ，
∴a=2，b2=4﹣3=1，
∴椭圆C的方程 ．
（Ⅱ）证明：设M（x1 ， y1） N（x2 ， y2），
右顶点A（2，0）
，
∵以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，
∴（2﹣x2）（2﹣x1）+y1y2=0，
∵y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴4+（km﹣2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0 ①
把y=kx+m代入椭圆方程 ，
得 +（kx+m）2=1，
整理，得（ +k2）x2+2kmx+m2﹣1=0，
所以x1x2= ，x1+x2=﹣ ，②
把②入①，得
4+（km﹣2）（﹣ ）+（1+k2） +m2
=（5m2+16km+12k2）÷（1+4k2）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k2）
=0
所以m+2k=0 或者 m+ k=0
当m+2k=0时，直线y=kx﹣2k恒过点（2，0）和A点重合显然不符合
当m+ k=0时 直线恒过点（ ，0）符合题意
所以该定点坐标就是（ ，0）
【解析】（I）由题设知c= ， ，由此能求出椭圆C的方程．（II）设M（x1 ， y1） N（x2 ， y2），右顶点A（2，0）， ，由以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，知（2﹣x2）（2﹣x1）+y1y2=0，由y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 ， 知4+（km﹣2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0．把y=kx+m代入椭圆方程 ，得（ +k2）x2+2kmx+m2﹣1=0，再由韦达定理结合题设条件能求出该定点坐标．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．