Question

【题目】已知f（x）=ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对x≥0，恒有f（x）≥ax2+1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣x，

∴f′（x）=ex﹣1，

当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减

（2）解：∵对x≥0，恒有f（x）≥ax2+1，

∴ex﹣x﹣ax2﹣1≥0，

令g（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2，则x≥0，有g（x）≥0，

∵g（0）=0，∴m＞0，使得g（x）在（0，m）上单调递增，

∴在（0，t）上，g'（0）=1﹣2a≥0，解得a ．

下面证明：当a 时，x≥0，恒有g（x）≥0．

证明：由（1）得x≥0，有f（x）≥f（0）=0，

∴当x∈[0，+∞）时，ex﹣1≥x，且仅当x=0时，等号成立，

∴当x≥0时，g′（x）=ex﹣1﹣2ax≥x﹣2ax=2x（ ）≥0，

且仅当x=0时，等号成立，

∴g（x）在[0，+∞）递增，

∴当x∈[0，+∞）时，g（x）≥g（0）=0．

综上，a的取值范围是（﹣∞， ]

【解析】（1）由f′（x）=ex﹣1，利用导数性质能讨论f（x）的单调性．（2）令g（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2 ， 则x≥0，有g（x）≥0，由g（0）=0，得m＞0，使得g（x）在（0，m）上单调递增，由此能求出a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．