Question

已知f（x）=

x2-4x+3，x≤0 -x2-2x+3，x＞0

，不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-2）
• B、（-∞，0）
• C、（0，2）
• D、（-2，0）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a-x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．

解答： 解：二次函数x²-4x+3的对称轴是x=2；
∴该函数在（-∞，0]上单调递减；
∴x²-4x+3≥3；
同样可知函数-x²-2x+3在（0，+∞）上单调递减；
∴-x²-2x+3＜3；
∴f（x）在R上单调递减；
∴由f（x+a）＞f（2a-x）得到x+a＜2a-x；
即2x＜a；
∴2x＜a在[a，a+1]上恒成立；
∴2（a+1）＜a；
∴a＜-2；
∴实数a的取值范围是（-∞，-2）．
故选：A．

点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．