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已知函数f(x)=(
3
sinωx+cosωx)cosωx-
1
2
,其中ω>0,f(x)的最小正周期为4π.
(Ⅰ)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=π对称,求y=g(x)图象的对称中心;
(Ⅱ)若在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(2a-c)cosB=b•cosC,求f(A)的取值范围.
分析:(I)利用三角恒等变换公式,化简得f(x)=sin(2ωx+
π
6
),根据周期公式算出ω=
1
4
得到f(x)=sin(
1
2
x+
π
6
).再由轴对称的公式与诱导公式,算出g(x)=f(2π-x)=sin(
1
2
x-
π
6
),进而可得g(x)图象的对称中心坐标.
(II)根据正弦定理化简题中等式,算出cosB=
1
2
,所以B=
π
3
,从而得到A∈(0,
3
).再根据正弦函数的图象与性质加以计算,即可得到f(A)的取值范围.
解答:解:(I)根据题意,得f(x)=
3
sinωxcosωx+cos2ωx-
1
2

∴f(x)=
3
2
sin2ωx+
1
2
cos2ωx=sin(2ωx+
π
6

∵f(x)的最小正周期为T=
=4π,∴ω=
1
4
,得f(x)=sin(
1
2
x+
π
6
).
∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=π对称,
∴g(x)=f(2π-x)=sin[
1
2
(2π-x)+
π
6
]=sin(
1
2
x-
π
6
).
1
2
x-
π
6
=kπ(k∈Z),得x=
π
3
+2kπ
(k∈Z),
因此,y=g(x)图象的对称中心为(
π
3
+2kπ
,0)(k∈Z).
(II)由(2a-c)cosB=b•cosC,利用正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C),
由于sin(B+C)=sinA>0,得cosB=
1
2
,所以B=
π
3

因此f(A)=sin(
1
2
A+
π
6
),其中A∈(0,
3
).
1
2
A-
π
6
∈(
π
6
π
2
),∴sin(
1
2
A-
π
6
)∈(
1
2
,1).
即f(A)的取值范围为(
1
2
,1).
点评:本题给出正弦型三角函数满足的条件,求函数图象的对称中心,并依此在△ABC中求f(A)的取值范围.着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和正弦定理等知识,属于中档题.
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π
4
)
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π
6
对称,求φ的值.

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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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