Question

已知圆C的方程为：（x+1）²+（y-2）²=2．
（1）过原点斜率为k的直线与圆C相交于A、B两点，若|AB|=2，求k的值；
（2）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：由圆C的方程找出圆心C的坐标和半径r，
（1）由直线过原点且斜率为k，设出直线的方程为y=kx，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线的距离d，由已知|AB|的长，以及圆的半径r，利用垂径定理及勾股定理求出圆心C到直线的距离d，可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）分两种情况考虑：①当切线l过原点时，设切线l的方程为y=kx，利用点到直线的距离公式求出圆心C到切线l的距离d，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离d=r，列出关于k的方程，求出方程的解即可确定出此时切线l的方程；②当切线l不过原点时，设切线l的方程为x+y-a=0，根据d=r，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出此时切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线l的方程．
解答：解：由圆的方程（x+1）²+（y-2）²=2，得到圆心C的坐标为（-1，2），半径r=，
（1）设直线的方程为y=kx，即kx-y=0，
∵r=，|AB|=2，
∴圆心C到直线的距离d==1，又d=，
∴=1，即（k+2）²=k²+1，
解得：k=-；
（2）分两种情况考虑：
①若切线l过原点，设l方程为y=kx，即kx-y=0，
则由C（-1，2）到l的距离d==r=，即（k+2）²=2k²+2，
解得：k=2±，
∴此时切线l的方程为y=（2±）x；
②若切线l不过原点，设l的方程为x+y-a=0，
则由C（-1，2）到l的距离d==r=，即|a-1|=2，
可得a-1=2或a-1=-2，解得：a=3或a=-1，
∴此时切线方程为x+y-3=0或x+y+1=0，
综上，切线l的方程为y=（2±）x或x+y-3=0或x+y+1=0．
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及直线的截距式方程，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，熟练掌握此性质是解本题第二问的关键．