Question

已知关于x的不等式（ax-a²-4）（x-4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为________．

Answer 1

-2
分析：根据已知关于x的不等式（ax-a²-4）（x-4）＞0，对字母a进行分类讨论：①a＜0时，[x-（a+）]（x-4）＜0，其中a+＜0，故解集为（a+，4），利用基本不等式得出a+的最大值为-4，从而A中共含有最少个整数，求得此时实数a的值；②a=0时，-4（x-4）＞0，解集为（-∞，4），整数解有无穷多，不符合条件； ③a＞0时，[x-（a+）]（x-4）＞0，此时整数解有无穷多，不符合条件．
解答：已知关于x的不等式（ax-a²-4）（x-4）＞0，
①a＜0时，[x-（a+）]（x-4）＜0，其中a+＜0，
故解集为（a+，4），
由于a+=-（-a-）≤-2=-4，
当且仅当-a=-，即a=-2时取等号，
∴a+的最大值为-4，当且仅当a+=-4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为-2；
②a=0时，-4（x-4）＞0，解集为（-∞，4），整数解有无穷多，故a=0不符合条件；
③a＞0时，[x-（a+）]（x-4）＞0，其中a+≥4，
∴故解集为（-∞，4）∪（a+，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；
综上所述，a=-2．
故答案为：-2．
点评：本小题主要考查一元二次不等式的应用、元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．