Question

已知a₁=-1，a_n+1=2a_n+n+4，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：a_n+1=2a_n+n+4两边同除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

=

an

2n

+

n+4

2n+1

，当n≥2时，用n-1代n，得

an

2n

-

an-1

2n-1

=

n+3

2n

，由此利用累加法能求出a_n=5•2^n-1-n-5．

解答： 解：a_n+1=2a_n+n+4
两边同除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

=

an

2n

+

n+4

2n+1

，
当n≥2时，用n-1代n，得：

an

2n

-

an-1

2n-1

=

n+3

2n

，
∴

an

2n

=

a1

2

+(

a2

22

-

a1

2

)+(

a3

23

-

a2

22

)+…+(

an

2n

-

an-1

2n-1

)
=-

1

2

+（

5

22

+

6

23

+

7

24

+…+

n+3

2n

）
=-

1

2

+3-

1

2n-1

-

n+3

2n

=

5

2

-

1

2n-1

-

n+3

2n

，
∴a_n=5•2^n-1-n-5，
当n=1时，a₁=-1满足上式，
∴a_n=5•2^n-1-n-5．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．