Question

已知函数f（x）=2^x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2）．
（1）求g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最大值和最小值．
（3）是否存在实数k，使得k-2f（x）＞g（x）有解，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把2x、x+2代入f（x）=2^x中，即可求得g（x）的解析式，利用复合函数定义域的求法可得

0≤2x≤3 0≤x+2≤3

，解此不等式即可求得函数的定义域；
（2）令t=2^x，则可将函数 g（x）=（2^x）²-4•2^x，转化为一个二次函数，然后根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到g（x）的最大值和最小值；
（3）假设存在实数k，使得k-2f（x）＞g（x）有解，即k＞2f（x）+g（x）有解，构造函数F（x）=2f（x）+g（x）=（2^x）²-2•2^x，（0≤x≤1），利用换元法，转化为二次函数在定区间上的最值问题，即可求得结果．

解答：解：（1）g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2=（2^x）²-4•2^x，
其定义域须满足

0≤2x≤3 0≤x+2≤3

，解得0≤x≤1，
∴g（x）=（2^x）²-4•2^x，
函数g（x）的定义域为[0，1]；
（2）∵g（x）=（2^x）²-4•2^x（0≤x≤1），
令t=2^x，
∵0≤x≤1，∴1≤t≤2，
所以有：h（t）=t²-4t=（t-2）²-4（1≤t≤2）
所以：当 t∈[1，2]时，h（t）是减函数，
∴f（x）_min=h（2）=-4，f（x）_max=h（1）=-3；
（3）假设存在实数k，使得k-2f（x）＞g（x）有解，即k＞2f（x）+g（x）有解，
令F（x）=2f（x）+g（x）=（2^x）²-2•2^x，（0≤x≤1），
令t=2^x，
∵0≤x≤1，∴1≤t≤2，
所以有：G（t）=t²-2t=（t-1）²-1（1≤t≤2）
所以：当 t∈[1，2]时，G（t）是增函数，
∴F（x）_min=G（2）=-1
∴k＞-1．

点评：本题只要考查代入法求函数的解析式和复合函数的定义域，以及利用换元法求函数的最值问题，体现了换元的数学方法和转化的数学思想，特别注意新变量的取值范围，同时也考查了二次函数在定区间上的最值问题，属中档题．