Question

已知

e1

，

e2

是两个不共线的向量，向量

PA

=

e1

+sina•

e2

（-

π

2

＜a＜

π

2

），

PB

=2

e1

-

e2

，

PC

=3

e1

-

5

2

e2

，若A，B，C三点共线，且函数f（x-a）=4cos（x-a）cos（x-2a），则f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域为（　　）

• A、[-2，

  3

  +2]
• B、[1-

  3

  ，2]
• C、[-2

  3

  ，

  3

  +2]
• D、[

  3

  -1，

  3

  +2]

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：A，B，C三点共线，可设

PA

=λ

PB

+(1-λ)

PC

，λ∈R．即

e1

+sina•

e2

=λ（2

e1

-

e2

）+（1-λ）（3

e1

-

5

2

e2

）=(3-λ)

e1

+(

3

2

λ-

5

2

)

e2

，利用

e1

，

e2

是两个不共线的向量，可得a=

π

6

．可得f（x）=4cosxcos(x-

π

6

)=2sin(2x+

π

3

)+

3

，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵A，B，C三点共线，
∴可设

PA

=λ

PB

+(1-λ)

PC

，λ∈R．
∴

e1

+sina•

e2

=λ（2

e1

-

e2

）+（1-λ）（3

e1

-

5

2

e2

）=(3-λ)

e1

+(

3

2

λ-

5

2

)

e2

，
∵

e1

，

e2

是两个不共线的向量，
∴

1=3-λ sina= 3 2 λ- 5 2

，
解得sina=

1

2

，
∵-

π

2

＜a＜

π

2

，
∴a=

π

6

．
∴函数f（x-a）=4cos（x-a）cos（x-2a）即为f(x-

π

6

)=4cos(x-

π

6

)cos(x-

π

3

)，
∴f（x）=4cosxcos(x-

π

6

)=4cosx(

3

2

cosx+

1

2

sinx)
=

3

•2cos2x+sin2x
=

3

(1+cos2x)+sin2x
=2sin(2x+

π

3

)+

3

，
∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，
∴(2x+

π

3

)∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
∴f（x）∈[

3

-1，2+

3

]．
故选：D．

点评：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、三角函数的单调性、倍角公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．