Question

若直线y=x+b与曲线y=3-

4x-x2

恰有一个公共点，则b的取值范围为

（-1，3]∪{1-2

2

}

．

Answer 1

分析：曲线即 （x-2）²+（y-3）²=4（y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得 b=1+2

2

，b=1-2

2

．当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1，结合图象可得b的范围．

解答：解：如图所示：曲线y=3-

4x-x2

即 （x-2）²+（y-3）²=4（-1≤y≤3），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，
由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得

|2-3+b|

2

=2，
∴b=1+2

2

，b=1-2

2

．

当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1
结合图象可得-1＜b≤3或b=1-2

2

．
故答案为：（-1，3]∪{1-2

2

}

点评：本题的考点是直线与圆的位置关系，主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．