Question

7．在△ABC中，若（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）⊥$\overrightarrow{CB}$，则cosA的最小值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根据（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）⊥$\overrightarrow{CB}$，数量积为0，结合数量积的定义，利用基本不等式求出cosA的最小值即可．

解答 解：△ABC中，（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）⊥$\overrightarrow{CB}$，
∴（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{CB}$=0；
又$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，
∴（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=0，
展开得4${\overrightarrow{AB}}^{2}$-5$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{5}$（4${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$）；
又$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|cosA，
∴cosA=$\frac{1}{5}$•$\frac{{4\overrightarrow{AB}}^{2}{+\overrightarrow{AC}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{5}$•（$\frac{4|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$+$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}$）；
又$\frac{4|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$+$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}$≥2$\sqrt{\frac{4|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}•\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}}$=4，
∴当且仅当|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|时，cosA=$\frac{4}{5}$取得最小值．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了利用平面向量的数量积解答垂直关系的应用问题，也考查了应用基本不等式求最值的问题，
是中档题目．