Question

1．已知等差数列{a_n}满足a₂=5，a₅+a₉=30．{a_n}的前n项和为S_n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$（n∈N*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=5，a₅+a₉=30可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{{2a}_{1}+12d=30}\end{array}\right.$，求出首选和公差，再根据等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式即可求出，
（Ⅱ）通过裂项求和即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=5，a₅+a₉=30可得，
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{{2a}_{1}+12d=30}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
∴S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）=n²+2n，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+4}$

点评 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式和裂项求和，属于中档题