已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立,f(3)=-3.
(1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)证明:函数y=f(x)是奇函数;
(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域.
(1)证明 设x1,x2∈R,且x1<x2,f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1).
故f(x)是R上的减函数.
(2)证明 ∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立,∴可令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0),
又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而x∈R,f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.
(3)解 由于y=f(x)是R上的单调递减函数,
∴y=f(x)在[m,n]上也是减函数,故f(x)在[m,n]上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).
由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理f(m)=mf(1).
又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m, f(n)=-n.
∴函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].
科目:高中数学 来源: 题型:
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