Question

6．已知圆C：x²+y²-2ax-2（a-1）y-1+2a=0（a≠1）对所有的a∈R且a≠1总存在直线l与圆C相切，则直线l的方程为y=-x+1．

Answer 1

分析 设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，比较系数得到方程组，求出恒与圆相切的直线的方程．

解答 解：圆的圆心坐标为（a，1-a），半径为：$\sqrt{2}$|a-1|
显然，满足题意切线一定存在斜率，
∴可设所求切线方程为：y=kx+b，即kx-y+b=0，
则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即$\frac{|ka+a-1+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$|a-1|恒成立，
即2（1+k²）a²-4（1+k²）a+2（1+k²）=（1+k）²a²+2（b-1）（k+1）a+（b-1）²恒成立，
比较系数得$\left\{\begin{array}{l}{2（1+{k}^{2}）=（1+k）^{2}}\\{-4（1+{k}^{2}）=2（b-1）（k+1）}\\{2（1+{k}^{2}）=（b-1）^{2}}\end{array}\right.$，
解之得k=-1，b=1，所以所求的直线方程为y=-x+1．
故答案为：y=-x+1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆系方程的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．