Question

选修4-5：不等式选讲
已知对于任意非零实数m，不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：分析题目已知不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，可变形为|2x-3|-|x-1|≤

|4m-1|+|1-m|

|m|

恒成立，而

|4m-1|+|1-m|

|m|

≥3．即可得到|2x-3|-|x-1|≤3，分类讨论去绝对值号即可求得x的取值范围．

解答：解：∵对于任意非零实数m，不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，
∴|2x-3|-|x-1|≤

|4m-1|+|1-m|

|m|

恒成立，而

|4m-1|+|1-m|

|m|

≥3．
∴只需|2x-3|-|x-1|≤3．
①当x≤1时，|2x-3|-|x-1|=3-2x-（1-x）≤3，即x≥-1，所以-1≤x≤1；
②当1＜x＜

3

2

时，|2x-3|-|x-1|=3-2x-（x-1）≤3，即x≥

1

3

，所以1＜x＜

3

2

；
③当x≥

3

2

时，|2x-3|-|x-1|=2x-3-x+1≤3，即x≤5，所以

3

2

≤x≤5．
综上所述，x的取值范围为[-1，5]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的应用，求得而

|4m-1|+|1-m|

|m|

≥3是关键，有一定的灵活性，突出考查转化思想与分类讨论思想，属于中档题．