Question

2．求证：||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 分零向量与非零向量，以及向量共线与不共线的情况，利用向量加法、减法的三角形法则做出图形，结合三角形的边的关系：“两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边”进行证明．

解答 证明：若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$中有一个为零向量，显然成立；
对$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为非零向量，分三种情况考虑．
（1）当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线且方向相同时，||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|；
（2）当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线且方向相反时，||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|；
（3）当a，b不共线时，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边，得
||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．
综上得证．

点评 本题主要考查了平面向量的共线与不共线时两向量差的模与向量模的和（或差）的大小关系，解决问题的关键是要熟练运用向量的加法及减法的三角形法则（平行四边形法则）．分类讨论的数学思想要注意掌握．