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    对于函数f(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)=x0成立，则称x0是函数f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).

    (1)当a=1，b=-2时，求函数的不动点；

    (2)若对于任意b∈R，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的范围.

    解:本题考查二次函数与二次方程的性质.

    (1)当a=1，b=-2时，函数f(x)=x2-x-3，由题意得x=x2-x-3.

    解得x=-1或x=3.

    (2)函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有两个相异的不动点，

    方程x=ax2+(b+1)x+(b-1)恒有两个不同的根，

    即方程ax2+bx+(b-1)=0恒有两个不同的根.

    因此Δ=b2-4a(b-1)＞0对任意b∈R恒成立,

    即b2-4ab+4a＞0对任意b∈R恒成立.

    所以必须满足(4a)2-4·4a＜0，

    解之,得0＜a＜1.

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    （1）试求函数f(x)的单调区间；

    （2）已知各项不为零且不为1的数列{an}满足，求证：；

    （3）设，为数列{bn}的前n项和，求证：

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           对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点  已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

    （1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

    （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

    （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值.

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    ⑴若x1<1<x2，且f(x)的图象关于直线x＝m对称，求证：<m<1；

    ⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2014届湖南师大附中高三第二次月考理科数学试卷（解析版） 题型：填空题

    对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“布林函数”，区间[a，b]称为函数f(x)的“等域区间”.

    （1）布林函数的等域区间是         .

    （2）若函数是布林函数，则实数k的取值范围是           .

     

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    科目：高中数学 来源：2014届湖南省华容县高一第一学期期末考试数学试卷 题型：解答题

    (本小题满分6分）对于函数f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋bx-b有不动点(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

     

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