Question

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：①x＞1时，f（x）＜0；②f(

1

2

)=1③对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求证：f（1）=0，f(

1

x

)=-f(x)；
（2）求证：f（x）在定义域内为减函数；
（3）求不等式f（2）+f（5-x）≥-2的解集．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0，令x=x，y=

1

x

，即可证得f（

1

x

）=-f（x）；
（2）设任意0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，可证得f（x₂）-f（x₁）＜0；
（3）根据②可求得f（2）=-1，从而可得f（5-x）≥f（2），再利用f（x）在定义域内为减函数，即可求得其解集．

解答：证明（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
令x=x，y=

1

x

，则f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，即f（

1

x

）=-f（x），
（2）∵x＞1时，f（x）＜0，设任意0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在定义域内为减函数；
（3）∵f（

1

2

）=1，f（

1

x

）=-f（x），
∴-f（2）=f（

1

2

）=1得，
∴f（2）=-1，即有f（2）+f（2）=-2，
∴f（2）+f（5-x）≥-2可化为f（2）+f（5-x）≥f（2）+f（2），
即f（5-x）≥f（2），又f（x）在定义域内为减函数，
∴0＜5-x≤2，解得3≤x＜5．
∴原不等式的解集为：{x|3≤x＜5}．

点评：本题考查抽象函数及其用，难点在于（2）用单调性的定义证明f（x）在定义域内单调递减时的变化及（3）中对f（2）+f（5-x）≥-2的转化，突出考查化归思想，属于难题．