【题目】已知函数f(x)=g(x)﹣(a﹣1)lnx,g(x)=ax+ +1﹣3a+(a﹣1)lnx.
(1)当a=1时,求函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若不等式g(x)≥0在x∈[1,+∞)时恒成立,求正实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=1时,f(x)=x+ ﹣2,f′(x)=1﹣ ,
∴f′(2)= ,f(2)= ,
∴函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y﹣ = (x﹣2),
即3x﹣4y﹣4=0
(2)解:g′(x)= ,
0<a< 时,g′(x)>0,得x> ﹣2,
令g′(x)<0,得1<x< ﹣2,
∴g(x)在(1, ﹣2)上是减函数,
∴x∈(1, ﹣2),g(x)<g(1)=0,
与g(x)≥0在x∈[1,+∞)时恒成立矛盾,
a≥ ,g′(x)≥0在x∈[1,+∞)时恒成立,
g(x)在[1,+∞)为增函数,
∴g(x)≥g(1)=0,符合题意,
综上所述,a≥
【解析】(1)当a=1时,求导数,确定切线的斜率,即可求出切线方程;(2)求出函数的导数,分类讨论,利用g′(x)≥0在x∈[1,+∞)时恒成立,即可得出结论.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】已知椭圆 内有一点M(2,1),过M的两条直线l1 , l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足 (其中λ>0,且λ≠1),若λ变化时,AB的斜率总为 ,则椭圆E的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在直角坐标系中,直线l过定点(﹣1,0),且倾斜角为α(0<α<π),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=cosθ(ρcosθ+8).
(1)写出l的参数方程和C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且 ,求α的值.
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【题目】如图,几何体EF﹣ABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(1)求证:AC⊥FB
(2)求二面角E﹣FB﹣C的大小.
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【题目】《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驾马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.何日相逢,”其大意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”现有三种说法:①驽马第九日走了93里路;②良马四日共走了930里路;③行驶5天后,良马和驽马相距615里. 那么,这3个说法里正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|+|2x﹣a|(a∈R).
(1)若f(1)<11,求a的取值范围;
(2)若a∈R,f(x)≥x2﹣x﹣3恒成立,求x的取值范围.
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【题目】已知双曲线E: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , |F1F2|=6,P是E右支上一点,PF1与y轴交于点A,△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q,若|AQ|= ,则E的离心率是( )
A.2
B.
C.
D.
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