已知函数的定义域为
,对定义域内的任意x,满足
,当
时,
(a为常),且
是函数
的一个极值点,
(1)求实数a的值;
(2)如果当时,不等式
恒成立,求实数m的最大值;
(3)求证:
(1);(2)2;(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用为奇函数,所以设
,利用
,求出
时的
,然后再求
时的
,再根据
,求出
,验证所求
能够使
是函数
的一个极值点;(2)不等式
恒成立,转化为
恒成立,设
,即求
的最小值,求
,再设
,易求
,当
时,
为增函数,
最小,
,即
逐步分析
为单调递增函数,从而求得最小值.(3)通过
代入(2)式恒成立不等式
,变形放缩后得到
,为出现(2)要证形式,所以令
,则
,然后将k=1,2, n,代入上式,累加,从而得出要证不等式.此题综合性较强.
试题解析:(1)由题知对定义域内任意,
,
为奇函数,
当时,
,
,
当时,
由题知:,解得
,经验证,满足题意.
(2)由(1)知
当时,
,令
则时,
恒成立,转化为
在
恒成立.
令,
,则
,
当时,
,
在
上单调递增.
当
时,
,
在
单调递增.
则若在
恒成立,则
的最大值2.
(3)由(2)知当时,有
,即
则
令,则
当
时,
;当
时,
;当
时,
;
当时,
将以上不等式两端分别相加得:
即.
考点:1.函数极值的应用;2.利用导数求最值;3.证明不等式的方法.
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源: 题型:
π | 2 |
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年浙江省杭州市七校高三上学期期中联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数的定义域为
,
(1)求;
(2)若,且
是
的真子集,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2014届辽宁朝阳高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知函数的定义域为
,部分对应值如下表。
的导函数
的图像如图所示。
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0 |
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下列关于函数的命题:
①函数在
上是减函数;②如果当
时,
最大值是
,那么
的最大值为
;③函数
有
个零点,则
;④已知
是
的一个单调递减区间,则
的最大值为
。
其中真命题的个数是( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年海南省海口市高三高考调研考试理科数学 题型:选择题
已知函数的定义域为
,且
,
为
的导函数,函数
的图象如图所示.若正数
,
满足
,则
的取值范围是
A. B.
C.
D.
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