精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
1.已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,其中$a<\frac{1}{2}$.
(Ⅰ)当a=-2时,求函数f(x)的极大值;
(Ⅱ)若f(x)在区间(0,e)上仅有一个零点,求a的取值范围.

分析 (Ⅰ)当a=-2时,求导数,确定函数的单调性,即可求函数f(x)的极大值;
(Ⅱ)若f(x)在区间(0,e)上仅有一个零点,分类讨论,即可求a的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)当a=-2时,f(x)=lnx-2x2+3x,
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$-4x+3=-$\frac{(x-1)(4x+1)}{x}$,
∴函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴x=1时,函数取得极大值1;
(Ⅱ)因为f′(x)=$\frac{(2ax-1)(x-1)}{x}$
a=0,函数在(0,1)上单调递增,(1,+∞)上单调递减,f(1)=-1<0,f(x)在区间(0,e)上没有零点;
a<0,函数在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,
∵f(x)在区间(0,e)上仅有一个零点,
∴f(e)≤0,∴1+ae2-(2a+1)e≤0,
∴a≤$\frac{e-1}{e(e-2)}$,
∴a<0;
$\frac{1}{2}>$a>0,令f′(x)=0,x1=1,x2=$\frac{1}{2a}$>1
因为f(1)<0,f(x)在区间(0,e)上仅有一个零点,
∴f(e)≥0,∴1+ae2-(2a+1)e≥0,
∴a≥$\frac{e-1}{e(e-2)}$,∴$\frac{1}{2}>$a>0,
综上所述,a<$\frac{1}{2}$且a≠0.

点评 本题考查函数与导数等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.如图,在直角坐标平面xOy内已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,使得$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0,延长MP到点N,使得|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{PN}$|
(1)当|$\overrightarrow{OP}$|=1时,求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$;
(2)求点N的轨迹方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.
(1)求证:AB1⊥CC1
(2)若$A{B_1}=\sqrt{6}$,求二面角C-AB1-A1的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

9.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=4,AB=4$\sqrt{3}$,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=2.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求证:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A-PC-B的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.已知函数f(x)=x2-(-1)n2alnx(n∈Z,a>0).
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若n=2016,且函数y=2ax-f(x)有唯一零点x0,求x0与a.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.已知函数f(x)=(a+1)lnx-ax,试讨论f(x)在定义域内的单调性.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.如图,AB切⊙O于点B,点G为AB的中点,过G作⊙O的割线交⊙O于点C、D,连接AC并延长交⊙O于点E,连接AD并交⊙O于点F,求证:EF∥AB.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AD=PD=2,PA=2$\sqrt{2}$,∠PDC=120°,点E为线段PC的中点,点F在线段AB上.
(Ⅰ)若AF=$\frac{1}{2}$,求证:CD⊥EF;
(Ⅱ)设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为θ,试确定点F的位置,使得cosθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},则∁UM(  )
A.{3,5,6}B.{1,3,5}C.{2,5,6}D.U

查看答案和解析>>

同步练习册答案